定期テスト対策に!中学1年生 数学1章 正の数・負の数 攻略本&問題&解答

正の数・負の数

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目次

1.0より小さい数

1-1 -の温度

〇次の温度を-を使って表しなさい。
例1) 0℃より5℃低い温度  A -5℃
例2) 0℃より3.5℃低い温度 A -3.5℃
例3) 0℃より\(\frac{1}{2}\)℃低い温度 A - \(\frac{1}{2}\) ℃

 

1-2 正の数と負の数

0より小さい数・・・負の数  
0より大きい数・・・正の数
「+(プラス)」・・・正の符号
「-(マイナス)」・・・負の符号

〇次の数を、正の符号、負の符号をつけて表しなさい。
例1) 0より7小さい数           A -7
例2) 0より1.5大きい数   A +1.5
例3) 0より\(\frac{2}{3}\)小さい数   A -\(\frac{2}{3}\)

1-3  自然数

正の整数1,2,3・・・・・を、自然数という。
※0は、はいらない。
※小学生までは、整数は、0,1,2,3・・・だけであったが、負の整数(-1,-2,-3など)も含めて考える。

〇次の数の中で、整数はどれか。また、自然数はどれか。
0.4 , -8,5 , -7 , 0.01 , -0.5 , 0 , \(\frac{1}{2}\) , +18

整数・・・-7 , 0 , +18
自然数・・・ +18

2.正の数・負の数で量を表すこと

2-1 正の数・負の数で表すこと

例1) 1000円の収入を+1000円と表すとき、
    2000円の支出は、-2000円と表される。

例2) ある地点から3km東の地点を、+3kmと表すとき、ある地点から5km西の地点は、-5kmと表される。

例3) 5個少ない=-5個多い となる。

〇[  ]内のことばを使って、次のことを表しなさい。
・3個少ない[多い]     A -3個多い
・5kg軽い[重い]     A -5kg重い

〇次のことがらを正の数を使ったいい方になおしなさい。
・-500円の支出    A +500円の収入 
・-3cm短い     A +3cm長い

2-2 正の数・負の数で表すこと(文章題)

例1) 基準との違い
あるクラスの生徒5人の50m走の結果を基準を8.0秒として表に表した。

人物 リョウタ ミサキ ミク タイチ サクラ
タイム(秒) 6.5 8.3 7.6 6.8 9.1
基準との違い ー1.5 +0.3 ー0.4 ー1.2 +1.1

例2) 前日との違い
ある1週間の気温を前日に対する高低(℃)で表した。

曜日
増減   +2 ー5 +4 +3 −4
気温(℃) 20 22 17 17 21 24 20

 

3.絶対値と数直線

3-1 絶対値

数直線上で、0からある数までの距離を、
その数の絶対値という。

〇次の数の絶対値をいいなさい。
例1) +5   A 5  例2) -3  A 3
例3) -0.05 A 0.05 例4)-\(\frac{5}{7}\) \(\frac{5}{7}\)   
〇絶対値が3になる数をいいなさい。
A +3, -3
〇絶対値が2以下の整数をすべていいなさい。
A -2, -1, 0, +1, +2 
〇絶対値が2より小さい数をすべていいなさい。
A -1, 0, +1
※以下・・・その数も入る
      より小さい・・・その数は入らない
〇 絶対値が2以上4以下の整数はいくつあるか。
A 6つ (±2,±3,±4)     

3-2 数直線

例1)下の数直線上でA、B、Cにあたる数を答えなさい。

 

A:-4、 B:-1.5、 C +0.5

例2)次の数を、したの数直線上に表しなさい。

-3, \(\frac{2}{3}\) , +4.5

\(\frac{2}{3}\)=3÷2=1.5

4.数の大小と数直線を使って    

4-1 数の大小

数を数直線上に表すと、右の数ほど大きくなる。

〇次の2数のうち、大きい方はどちらか。
①-5と3  A 3    ②-5と-2  A -2
〇次の2数の大小を不等号を使って表しなさい。
① 2  3  ② -3  -2
③ -1.5  -2.5  ④ -\(\frac{2}{3}\)\(\frac{2}{5}\)
※-\(\frac{2}{3}\)=-3÷2=-1.5、-\(\frac{2}{5}\)=-5÷2=-2.5

4-2 数直線を使って

 

 

 

例1) 2より3大きい数
3大きくなるので、2から右に3マス進むので、5となる。

例2) 1より4小さい数
4小さくなるので、1から左に4マス進むので、-3となる。

例3) 2より-3大きい数
-3大きくなる=3小さくなるので、2より左に3マス進むので、-1となる。

例4) 3より-2小さい数
-2小さくなる=2大きくなるので、3より右に2マス進むので、5となる。

 

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5.正の数・負の数の加法①(同符号)     

5-1 同符号の加法

足し算のことを「加法(かほう)」という。
例1) (+3)+(+4)=+(3+4)=+7
例2) (-2)+(-3)=-(2+3)=-5

※同符号の足し算のときは、2数の絶対値の和をするとよい。

5-2 同符号の加法(小数と分数編)

小数や分数であっても計算のやり方は変わらない。

例1) (+0.3)+(+0.4)=+(0.3+0.4)=+0.7
例2) (-0.3)+(-0.5)=-(0.3+0.5)=-0.8
例3) (-\(\frac{1}{5}\))+(-\(\frac{2}{5}\))=-(\(\frac{1}{5}\)\(\frac{2}{5}\))=-\(\frac{3}{5}\)
例4) (-\(\frac{1}{2}\))+(-\(\frac{1}{7}\))=-(\(\frac{7}{14}\)\(\frac{2}{14}\))=-\(\frac{9}{14}\)

※通分のやり方を忘れた人は復習しておこう!
※約分ができるときはする!

6.正の数・負の数の加法②(異符号)

6-1 異符号の加法

例1) (+5)+(-3)=+(5-3)=+2
例2) (+3)+(-7)=-(7-3)=-4
例3) (-4)+(+5)=+(5-4)=+1
例4) (-6)+(+1)=-(6-1)=-5

(1)絶対値の大きい方の符号を書く。
(2)2数の絶対値の大きい方から小さい方をひく。   

6-2 異符号の加法(小数と分数編)

小数や分数であっても計算のやり方は変わらない。
例1) (+0.7)+(-0.4)=+(0.7-0.4)=+0.3
例2) (+1.2)+(-1.5)=-(1.5-1.2)=-0.3
例3) (-\(\frac{5}{7}\))+(+\(\frac{1}{7}\))=-(\(\frac{5}{7}\)-\(\frac{1}{7}\))=-\(\frac{4}{7}\)
例4) (-\(\frac{2}{3}\))+(+\(\frac{3}{5}\))=-(\(\frac{10}{15}\)-\(\frac{9}{15}\))=-\(\frac{1}{15}\)

 

7.正の数・負の数の減法         

ひき算のことを「減法(げんぽう)」という。
例1) (+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8
例2) (-3)-(+7)=(-3)+(-7)=-10

※符号を変えた数をたすとよい。

 

 

8.加法と減法が混ざった計算    

8-1 3つ以上の数の加法・減法

(+3)+(+8)+(-7)+(-8)
+3, +8, -7, -8 を、この式の「項」といい、
+3, +8・・・正の項、 -7, -8・・・負の項という。

例1) 2-5+6-7
   =2+6-5-7
   =8-12=-4
例2) -1-5+7+6
   =7+6-1-5
   =13-6=7
正の項から先に並べ計算すると計算しやすくなる!

8-2 加減の混じった計算

例1) (-3)-(-5)+(-7)+6
   =-3+5-7+6
   =5+6-3-7
   =11-10
   =1 
例2) (-2)-(+5)-(-12)-7
   =-2-5+12-7
   =12-2-5-7
   =12-14
   =-2

Point !※+(+〇)→+〇  +(-〇)→-〇
     -(+〇)→-〇  -(-〇)→+〇 

 

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9.正の数・負の数の乗法①          

かけ算のことを「乗法(じょうほう)」という。
例1) (正の数)×(正の数)=正の数  
        7×3=21
例2) (正の数)×(負の数)=負の数  
      5×(-6)=-30
例3) (負の数)×(正の数)=負の数 
     (-3)×2=-6
例4) (負の数)×(負の数)=正の数 
     (-4)×(-7)=28

 

10.正の数・負の数の乗法②(小数編)

小数を含む乗法もやり方は同じ
例1) (正の数)×(正の数)=正の数  
        9×0.5=4.5
例2) (正の数)×(負の数)=負の数  
       0.5×(-0.1)=-0.05
例3) (負の数)×(正の数)=負の数 
     (-0.3)×0.8=-0.24
例4) (負の数)×(負の数)=正の数 
    (-12)×(-0.7)=8.4

 

11.正の数・負の数の除法①      

わり算のことを「除法(じょほう)」という。
例1) (正の数)÷(正の数)=正の数  
        8÷4=2
例2) (正の数)÷(負の数)=負の数  
       10÷(-2)=-5
例3) (負の数)÷(正の数)=負の数 
    (-15)÷3=-5
例4) (負の数)÷(負の数)=正の数 
     (-3)÷(-5)=\(\frac{3}{5}\)

※わりきれないとき・・・〇÷△=\(\frac{〇}{△}\)
 約分も忘れずにしよう!

 

12.正の数・負の数の除法②(小数編)

小数を含む除法もやり方は同じ
例1) (正の数)÷(正の数)=正の数  
      6÷0.3=60÷3=20
例2) (正の数)÷(負の数)=負の数  
    0.3÷(-6)=3÷(-60)=-0.05
例3) (負の数)÷(正の数)=負の数 
    (-3.2)÷0.8=(-32)÷8=-4
例4) (負の数)÷(負の数)=正の数 
   (-2.5)÷(-5)=(-25)÷(-50)=0.5
             

 

13.分数を含む乗法と逆数 

13-1 正の数・負の数の乗法(分数編)

分数を含む乗法もやり方は同じ!
例1) (正の数)×(正の数)=正の数  
    \(\frac{1}{3}\)×\(\frac{4}{5}\)\(\frac{4}{15}\)

例2) (正の数)×(負の数)=負の数  
    \(\frac{2}{7}\)×(-\(\frac{2}{3}\))=-\(\frac{4}{21}\)

例3) (負の数)×(正の数)=負の数 
    (-\(\frac{6}{5}\))×\(\frac{2}{15}\)=-\(\frac{1}{9}\) 

例4) (負の数)×(負の数)=正の数 
    (-\(\frac{3}{7}\))×(-\(\frac{14}{3}\))=2

13-2 逆数

2つの数の積が1になるとき、一方を他方の数の逆数という。

例1)\(\frac{4}{5}\)\(\frac{5}{4}\)      例2-\(\frac{2}{3}\)→-\(\frac{3}{2}\)

例3 -\(\frac{1}{7}\)→ -7    例4 -5 →-\(\frac{1}{5}\)

例6 -0.6=-\(\frac{10}{6}\)→-\(\frac{6}{10}\)=-\(\frac{3}{5}\)  

13-3 乗法の計算法法則

  a×b=b×a・・・・乗法の「交換法則」                         
(a×b)×c=a×(b×c)・・・乗法の「結合法則」という。

14.分数を含む除法   

分数を含む除法は、その逆数をかける!

例1) (正の数)÷(正の数)=正の数  
    \(\frac{1}{3}\)÷\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{3}\)×\(\frac{2}{1}\)\(\frac{2}{3}\)

例2) (正の数)÷(負の数)=負の数   
   \(\frac{7}{4}\)÷(-\(\frac{1}{28}\)
  =\(\frac{7}{4}\)×(-\(\frac{28}{1}\)
  =-16

例3) (負の数)÷(正の数)=負の数   
   (-\(\frac{2}{3}\))÷ \(\frac{8}{15}\)
  =(-\(\frac{2}{3}\))÷\(\frac{15}{8}\)
  =-\(\frac{5}{4}\)

例4) (負の数)÷(負の数)=正の数 
  (-\(\frac{3}{8}\))÷(-\(\frac{9}{16}\)
 =(-\(\frac{3}{8}\))×(-\(\frac{16}{9}\))
 =-\(\frac{3}{2}\)

15.乗除の混じった計算  

15-1 3つ以上の数の乗法

・負の符号の個数が1個・・・負の数
         2個・・・正の数
         3個・・・負の数
         4個・・・正の数
・負の符号の個数が偶数のとき・・・正の数
・負の符号の個数が奇数のとき・・・負の数                      
例1) (-3)×2×4=-24
例2) (-2)×(-5)×3=30
例3) (-\(\frac{3}{8}\)×(-\(\frac{16}{9}\))×(-\(\frac{1}{6}\))-\(\frac{3}{10}\)

15-2 3つ以上の数の乗除

・除法が加わっても、負の符号のつけ方は変わらない。
・わり算の計算ができないときは、乗法になおして解くとよい!

例1)(-5)×7÷(-21)
   =(-35)÷(-21)
   =-\(\frac{35}{21}\)=-\(\frac{5}{3}\)

例2 12÷(-\(\frac{2}{3}\)÷(-\(\frac{3}{5}\)
  =12×(-\(\frac{3}{2}\)×(-\(\frac{5}{3}\)
  =-\(\frac{1}{36}\)

例3 (-\(\frac{2}{15}\))÷(-\(\frac{5}{2}\))÷(-\(\frac{5}{3}\)
  =(-\(\frac{2}{15}\))×(-\(\frac{2}{5}\))×(-\(\frac{3}{5}\)
  =-1

 

16.いろいろな計算(指数の計算)

16-1 同じ数の積

\(2^2\) を2の2乗(にじょう)と読む。
このようにかけ合わす個数を示したものを、
指数」という。
例1) \(2^2\)=2×2=4   例2) \(2^3\)=2×2×2=8
例3) (-3)\(^2\)=(-3)×(-3)=9  
例4) \(-3^3\)=-(3×3)=9 
例5)(-\(\frac{5}{2}\))\(^3\)
  =(-\(\frac{5}{2}\))×(-\(\frac{5}{2}\))×(-\(\frac{5}{2}\)
  =(-\(\frac{25}{8}\)

 

16-2 指数をふくむ計算

例1) \(2^2\)×3=4×3=12   
例2) \(-2^3\)÷4=-8÷4=-2
例3) (\(-6^2\))÷\(2^3\)=36÷8=\(\frac{9}{2}\)←約分した!

例4)(-\(\frac{3}{2}\))\(^3\)×(-1)
     =(-\(\frac{27}{8}\))×(-1)
     =\(\frac{27}{8}\)  

 

17.四則計算①

17-1 加減乗除を含む計算

数の加法、減法、乗法、除法をまとめて
四則」という。
乗除(かけさん・わり算)から計算する
例1) 6-(-5)×3
      =6-(-15)
     =6+15=21                                                           
例2)(-24)÷6+4
      =(-4)+4=0
例3) 3×(-5)-(-2)×7
         =(-15)-(-14)
   =-15+14
        =-1 

17-2 加減乗除(指数をふくむ)を含む計算

・指数が含んでいるときは指数から計算する!
例1) -4+\(2^2\)×3
       =-4+4×3
       =-4+12=8
例2) 5-2^3÷8
        =5-8÷8
       =5-1=4
例3) (-3)\(^2\)÷3\(-2^3\)÷8
        =9÷3-8÷8
        =3-1=2

 

18.四則計算②と分配法則         

18-1  かっこがある計算

(   )があるときは、(   )の中から先に解く
例1) (-36)÷(5+4)
        =(-36)÷9=-4                                                                           
例2) 7-{(-3)\(^2\)-(4-5)}
    =7-{9-(-1)}
        =7-10=-3

18-2 分配法則

・(a+b)×c=a×c+b×c
・  c×(a×b)=c×a+c×b
このような計算法則を「分配法則」という!                                                                           

例1) (\(\frac{1}{3}\)\(\frac{4}{5}\))×15
        =(-\(\frac{1}{3}\))×15+\(\frac{4}{5}\)×15
        =-5+12=7
例2) 6×(\(\frac{1}{3}\)\(\frac{3}{2}\)
        =6×(\(\frac{1}{3}\))-6×\(\frac{3}{2}\)  
   =-2-9=-11
例3) 99×26=(100-1)×26
       =2600-26=2574
例4) 17×25-17×15
         =17×(25-15)
         =17×10=170 

19.数の広がりと四則計算  

○復習
自然数・・・正の整数(1,2,3,4,・・・)
整数・・・正の整数、負の整数、(0もふくむ

(1)自然数の集合について考える
①[加法]
    自然数+自然数=必ず自然数になる。
    例) 5+6=11
②[減法]
   自然数-自然数=自然数にならないときがある。
   例)3-5=-2←自然数ではない
③[乗法]
   自然数×自然数=必ず自然数になる。
   例) 2×3=6
④[除法]
   自然数÷自然数=自然数にならないときがある。
   例)3÷4=\(\frac{3}{4}\)

(2)整数の集合について考える
①[加法]
    整数+整数=必ず整数になる。
    例)5+6=11
②[減法]
     整数-整数=必ず整数になる。
     例)-3-5=-8
③[乗法]
    整数×整数=必ず整数になる。
    例)-2×3=6
④[除法]
    整数÷整数=整数にならないときがある。
    例)3÷4=\(\frac{3}{4}\)

これらの結果を表に示すと下表となる。

  加法 減法 乗法 除法
自然数の集合
整数の集合
数全体の集合

○:計算がいつでもできる
△:計算がいつでもできるとはかぎらない

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20.正の数・負の数の利用と魔法陣

20-1 正の数・負の数の利用

例1) あるかつ丼店の1日の売り上げ数を、水曜日の売り上げ数の100杯を基準にして下表のようになった。

① 火曜日の売り上げ数を求めなさい。 
  100-5=95(杯)
② 月曜日の売り上げ数を求めなさい。
  100+12=112杯
③ 日曜日から土曜日の売り上げ数の平均を求めなさい。
  5+12-5+0+6-7+3=14
  14÷7(日間)=2
  100+2=102(杯)
④ この7日間の総売り上げ数を求めなさい。
   102×7=714杯
⑤ 1日の売り上げ数が、この7日間の売り上げ数の平均よりも  
  少ない曜日を答えなさい。
  売り上げ数の平均 ③より102杯
  102杯より少ないのは、火曜、水曜、金曜

 

20-2 魔法陣

例1) 下の表で、縦、横、斜めの4つの数を加えても、和が等しくなるように、表の空欄をうめなさい。

−1 −7 −4
イ  −2
−6
−8

(1) 斜めの4つの数の和は、
       -1-2+5-8=-6となるので、
   縦、横、斜めの4つの数の和を-6にする必要がある。
(2) 3マスうまっているアを考える。
   -1-7-4+ア=-6、
       -12+ア=-6、
      よりア=6となる。
(3) 他のマス目も同様に考えていく。

答え

−1 −7 −4
−2 −9
−6 −5
−3 −8

 

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