定期テスト対策に!中学1年生 数学3章 方程式 攻略本&問題&解答

3章方程式

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1.方程式とその解

1-1 方程式の解

・「2x=10」のように、まだわかってない数を表す文字をふくむ等式を(方程式)という。
・ 方程式を成り立たせる文字の値・・・方程式の「解」
・解を求めること・・・「方程式を解く」

〇 次の方程式のうち、1が解であるものをいいなさい。
(ア) x-5=1
x=1を左辺に代入する
1-5=-4 となり、1が解ではない。×

(イ) 2x+3=5
x=1を左辺に代入する
2+3=5 となり、
左辺と右辺は等しいこと から、1が解である。〇

(ウ) x-5=3x-7x=1を代入する
左辺=1-5=-4
右辺=3-7=-4 となり、
左辺と右辺は 等しいことから、1が解である。

1-2 等式の性質①

例1) 両辺に同じ数をたす
① x-3=5
x-3+3=5+3
x=8

② -4+x=3
-4+4+x=3+4
x=7

例2) 両辺から同じ数をひく
① x+8=2
 x+8-8=2-8
    x=-6

② 3+x=7
 3-3+x=7-3
    x=4

 

2.方程式とその解

2-1 等式の性質②

例) 両辺に同じ数をかける
\(\frac{x}{3}\)=5
\(\frac{x}{3}\)× 3=5×3
  x=15

\(\frac{3}{4}\)x=\(\frac{9}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)x×(\(\frac{3}{4}\))=\(\frac{9}{8}\)×(\(\frac{3}{4}\))
        x=\(\frac{3}{2}\)

2-2 等式の性質③

例) 両辺を同じ数でわる
① 6x=24
6x÷6=24÷6
  x=4

② -4x=32
-4x÷(-4)=32÷(-4)
   x=-8

③ 9x=3
 9x÷9=3÷9
  x=\(\frac{1}{3}\)

3.方程式の解き方
3-1 移行して方程式を解く①

移行とは?
等式において、一方の辺の項を、符号を変えて、他方の辺に移すことを「移行」という。

例1) 左から右に移行する
① 4x+15=23
   4x=23-15
   4x=8
    x=2

② -3x-6=12
   -3x=12+6
   -3x=18
    x=-6
例2) 右から左に移行する
① 4x=7x-9
4x-7x=-9
   -3x=-9
    x=3

② -3x=15+2x
-3x-2x=15
    -5x=15
     x=-3

3-2 移行して方程式を解く①

〇次の方程式を解きなさい。
① 2x+3=5x+12
   2x-5x=12-3
      -3x=9
       x=-3

② 5-6x=-2x+21
-6x+2x=21-5
      -4x=16
       x=-4
※文字の項を左に、数の項を右に集める!

4.いろいろな方程式①    

4-1 かっこがある方程式

※かっこがある方程式は先にかっこをはずしてから解く!
① 3(x-3)=2x+1
  3x-9=2x+1
  3x-2x=1+9
    x=10

② -4(x-3)=2(x+7)
 -4x+12=2x+14
   -6x=2
    x=-\(\frac{2}{6}\)=-\(\frac{1}{3}\)

 

4-2 分数を含む方程式

※分数を含む方程式は、分母の公倍数を両辺にかけて、分数をふくまない方程式にする!
〇 次の方程式を解きなさい。
① x+5=2x-5
3×(x+5)=(2x-5)×3
  x+15=6x-15
   -5x=-30
    x=6

② \(\frac{3x+4}{2}\)=\(\frac{x-4}{3}\)
\(\frac{3x+4}{2}\)=\(\frac{x-4}{3}\)×6
  3(3x+4)=2(x-4)
   9x+12=2x-8
     7x=-20
     x=ー\(\frac{12}{7}\)

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5.いろいろな方程式②

5-1 係数に小数を含む方程式

※係数に小数を含む方程式の場合は、10倍や100倍を両辺にかけて、小数を含まない方程式 にするといい!
① -0.2x+3=0.1x+1.2
  -2x+30=x+12
    -3x=-18
     x=6

② 0.1x-0.05=-0.2x+0.05
   10x-5=-20x+5
    30x=10
     x= \(\frac{1}{3}\)

5-2 aの値を求める

〇 次の方程式の解がx=3であるとき、aの値を求めなさい。
※ まず、計算できるところまでする!
① 2x+5=3x+a
  -x+5=a
  -3+5=a
    a=2

② x-1=\(\frac{5x-a}{2}\)
 2x-2=5x-a ←両辺を2倍した
 -3x-2=-a
  -9-2=-a
   a=11

6.比の値と比例式

6-1 比の値

・比a:bをaをbで割った値\(\frac{a}{b}\)比の値という。
〇 次の比の値を求めなさい。
① 9:5
 9÷5=\(\frac{9}{5}\)

② 12:9
 12÷9=\(\frac{12}{9}\)=\(\frac{4}{3}\)

③ 1:\(\frac{2}{3}\)
 1÷\(\frac{2}{3}\)=1×\(\frac{3}{2}\)=\(\frac{3}{2}\) 

6-2 比例式

・a:b=c:d ・・・「比例式
・ 比 例式の外側の項と積と内側の項の積は等しい
  a:b=c:d → ad=bc

〇次の比例式を解きなさい。
① x:3=2:3
  3x=6
  x=2

② 15:6=x:8
   6x=120
    x=20

③ x:(x+2)=2:3
    3x=2(x+2)
    3x=2x+4
     x=4

 

7.1〜6のまとめ問題 

〇 次の方程式のうち、解が3であるものには〇、そうでないものには×をつけなさい。
(1) x+5=8
 左辺=3+5=8
 よって

(2) 3x-5=5
 左辺=9-5=4
 よって×

(3) 2x-5=3x-8
 左辺=6-5=1
 右辺=9-8=1
 よって

〇 次の方程式を解きなさい。
(4) x-2=3
  x=5

(5) 10+x=-4
   x=-14

(6)\(\frac{x}{4}\)=6
          x=24

(7)  ー\(\frac{2}{3}\)x=6
           x = 6 × (-\(\frac{2}{3}\)x)
             = – 9

(8) -9x=18
  x=-2

(9) 12x=4
  x=\(\frac{4}{12}\) =\(\frac{1}{3}\)

(10) 2x+4=6
   2x=2
       x=1
(11) 6-7x=10-5x
         -2x=4
           x=-2

(12) 7(2x-3)=5x-3
         14x-21=5x-3
                9x=18
                 x=2

(13) 2-\(\frac{2}{3}\)x=\(\frac{1}{4}\)-3x
               24-8x=3-36x
                  28x=-21
                     x=-\(\frac{21}{28}\) 
                      =-\(\frac{3}{4}\) 

(14) 0.5x-2.5=-x+2
           5x-25=-10x+20
               15x=45
                   x=3

〇 次の方程式の解がx=3であるとき、aの値を求めなさい。
(15) x+9=2(3x-a)
        x+9=6x-2a
           2a=5x-9
            2a=15-9
            2a=6
              a=3

〇 次の比の値を求めなさい。
(16) 3:5
      3÷5=\(\frac{3}{5}\) 

〇 次の比例式を解きなさい。
(17) x:8=3:4
        4x=24
         x=6

〇 次の方程式のうち、解が-3であるものには〇、そうで 9 ないものには×をつけなさい。

1 x+2=-1左辺=-3+2=-1 よって〇

2 4x-9=21

左辺=-12-9=-21 よって×

3 3x+10=2x+7

左辺=-9+10=1
右辺=-6+7=1 よって〇 11

8.方程式の利用①   

8-1 代金を求める問題

例) メロンパン3個と150円のアップルジュース1個を合わせて買うと、代金が750円になりました。メロンパン1個の値段を求めなさい。
(1) 何をxとするか書く!
   メ ロ ンパン1個の値段をx円とすると、
(2) 方程式をつくる!
   3 x + 1 5 0= 7 5 0
(3) 方程式を解く
  3x=600
    x=200
         答え 200円

8-2 代金を求める問題(少し複雑)

例) ケーキ5個と120円のシュークリーム1個の代金は、 ケー キ1個と80円のプリンの代金の3倍になりました。こ のケーキ1個の値段はいくらでしょう。
ケーキ1個の値段をx円とすると、
5x+120=3(x+80)
5 x-3x =2 4 0 – 1 2 0
       2x=120
         x=60  
             答え 60円

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9.方程式の利用②

9-1 余ったり、足りない問題

例) 何人かの生徒で、チョコレートを同じ数ずつ分けます。 3個ずつわけると12個余り、5個ずつわけると4個たりません。生徒の人数は何人でしょう。
生徒の人数をx人とすると、
3x+12=5x-4
    -2x=-16
       x=8
              答え 8人

9-2 連続した3つの整数の問題

例) 連続した3つの整数があり、その和は90となる。これら3つの整数を求めなさい。
※連続した3つの整数 1,2,3や12,13,14など
連続した3つの整数の問題のときは、真ん中の数字をxとおくと、計算しやすくなる!
真ん中の数をxとおくと、連続した3つの整数は、
x-1, x, x+1 と表される。
この3つの整数の和が90なので、
(x -1)+x+(x+1)=90
                   3x=90
                    x=30
                         答え 
29, 30, 31

10.方程式の利用③

10-1 自然数の問題

例) 2桁の自然数がある。一のくらいの数字が7で、十の位と一の位を入れ替えてできた数は、もとの数より2倍より1小さくなるという。もとの数を求めなさい。
(1) 十の位の数をxとおく
(2) もとの数をxを使って表すと・・・10x+7
(3) 入れ替えてできた数をxを使って表すと・・・70+x
(4) 方程式をつくる
   2(10x+7)-1=70+x
      20x+14-1=70+x
                19x=57
                    x=3
                     答え 37

10-2  年齢の問題

例) 現在、先生は54歳、なおさんは12歳です。先生の年 齢が、なおさんの年齢の3倍になるのは何年後ですか。x年後に年齢が3倍になるとすると、
(54+x)=3(x+12)
   54+x=3x+36
      -2x=-18
         x=9
            答え 9年後

 

11.方程式の利用④

11-1 割合の問題

例) ある商品に原価の3割の利益をつけたが、定価の1 割引きで売ったため、利益が510円になった。この商品の原価を求めなさい。
※3割・・・0.3 ←小数で表した 商品の原価をx円とすると
・ 原価の3割の利益・・・1.3x(定価)
・ 定価1.3xの1割引き(9割の値段)で売った・・・1.3×0.9=1.17x
・ 利益の求め方
利益=売った値段-原価
510=1.17x-x
510=0.17x
17x=51000¥
   x=3000
          答え 3000円

11-2 道のりを求める問題

例) A地からB地まで時速3kmで歩き、1時間休憩した後に、B地からA地まで時速4kmで歩いて帰ったら、3時間かかった。A地からB地までの道のりを求めなさい。
A地からB地までの道のりをxkmとすると

\(\frac{x}{3}\) +1+\(\frac{x}{4}\) =3.5 
4x+12+3x=42← 両辺に12倍をかけた
            7x=30
              x=\(\frac{30}{7}\) 
                                答え \(\frac{30}{7}\) km

12.方程式の利用⑤

12-1 速さを求める問題

例) 弟が3km離れた駅に向かって家を出発しました。 そ れ から10分たって、姉が弟の忘れ物に気づき、自 転 車で同じ道を追いかけました。弟は分速70m、姉は 分速210mで進むものとすると、姉は出発して何分後に弟に追いつくでしょうか。
姉は弟にx分後に追いつくとすると、
・弟が10分間で進んだ距離・・・70×10=700
・弟が進んだ距離(10分+x分)・・・700+70x
・姉がx分間で進んだ距離・・・210x
700+70x=210x
   -140x=-700
         x=5
            答え 5分後

12-2 時計の問題

例) 時計の時刻
右の図の時計に関し、次の各問いに答えなさい。
① 時計の長針が1分間にまわる角度を求めなさい。
60分で角度は360°となるので、1分間で、角度がx°となるとすると、
60:360=1:x
  60x=360
   x=6
     答え 6°

② 時計の短針が1分間にまわる角度を求めなさい。
60分間で角度は、360÷12=30°となるので、1分間で、角度がx°となるとすると、
60:30=1:x
 60x=30
  x=0.5
    答え 0.5°

③ 1時から2時の間で長針と短針が一直線に並ぶ時刻がある。その時刻は、1時何分何秒か。ただし、秒 は小数第一位を四捨五入する。x 分後に一直線になるとすると、
30+0.5x=6x
  -5.5x=-30
    x=5.454・・(5分と0.454分)
  0 . 454分×60=27.24=27秒
            答え 1時5分27秒

13.比例式の利用

13-1 関係を表す式の意味

例) 牛乳が15mL、コーヒーが50mLあります。この牛乳とコーヒーをそれぞれ同じ量ずつ増やして混ぜ合わせると、牛乳とコーヒーの量の比が 2:3となるコーヒー牛乳ができます。それぞれ何mLずつ増やせばよいでしょう。
xmL増やすとすると
(15+x):(50+x)=2:3
    100+2x=45+3x
         -x=-55
        x=55
         答え 55mL

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